3 Geometri: 3.3 Geometri i tre dimensioner
Geometriska kroppar
Alla månghörningar och cirklar är figurer med två dimensioner. De breder ut sig i två riktningar. Om vi lägger till en tredje dimension får vi geometriska kroppar. Sådana breder ut sig i tre riktningar.
Några geometriska kroppar har speciella namn.
Rätblock
En rektangel har två dimensioner, längd och bredd. Om vi lägger till en tredje dimension, höjd, får vi ett så kallat rätblock. Anledningen till att det kallas rätblock är att alla vinklar mellan sidoytorna är räta. Den yta som rätblocket står på brukar man kalla basyta.
Ett glasspaket har ofta formen av ett rätblock. Det innebär att sidoytorna, basytan och ovansidan är rektanglar. Din mattebok har också formen av ett rätblock när den är hopslagen.
Om alla kanter i ett rätblock är lika långa så är sidoytorna kvadrater. Rätblocket kallas då för en kub. En tärning, utan rundade hörn, är ett exempel på en kub.
Begränsningsarea
Om en kartong med formen av ett rätblock viks ut så bildar de sex ytorna en plan figur som består av rektanglar. Om vi adderar rektanglarnas area, får vi begränsningsarean. Ordet begränsning kommer från att det är kroppens gräns utåt.
Volymen av ett rätblock
Med volym menas hur stor en kropp är. När man beräknar en kropps volym utgår man ofta från en kub där kanterna är #1# cm. En sådan kub har volymen en kubikcentimeter. Vi kan räkna ut volymen så här:
#1# cm #\cdot 1# cm #\cdot 1# cm #= 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot# cm #\cdot# cm #\cdot# cm #= 1 \,\text{cm}^{3}#
Eftersom kroppen breder ut sig i tre dimensioner blir enheten i kubik, alltså upphöjd i tre #(cm^{3})#.
Det här rätblocket har en basyta med arean #5\,\cdot\,3\,\text{cm}^{2} = 15\,\text{cm}^{2}#. På den ytan kan vi lägga #15\,kuber# med volymen #1\,\text{cm}^{3}#. Eftersom rätblockets höjd är #4\,\text{cm}# så får det sammanlagt plats #15\,\cdot\,4\,kuber = 60# kuber med volymen #1\,\text{cm}^{3}#. Rätblockets volym är alltså #60\,\text{cm}^{3}#.
Vi ser att vi kan räkna ut volymen genom att multiplicera basytans area #B# med höjden #h# .
#V = B \cdot h#
I det här fallet är #B = 5\,\cdot\,3\,\text{cm}^{2} = 15\,\text{cm}^{2}# och #h \,=\,4\,\text{cm}#. Alltså är #V \,=\,15\,\cdot\,4\,\text{cm}^{3} = 60\,\text{cm}^{3}#.
Några geometriska kroppar har speciella namn.
Rätblock
En rektangel har två dimensioner, längd och bredd. Om vi lägger till en tredje dimension, höjd, får vi ett så kallat rätblock. Anledningen till att det kallas rätblock är att alla vinklar mellan sidoytorna är räta. Den yta som rätblocket står på brukar man kalla basyta.
Ett glasspaket har ofta formen av ett rätblock. Det innebär att sidoytorna, basytan och ovansidan är rektanglar. Din mattebok har också formen av ett rätblock när den är hopslagen.
Om alla kanter i ett rätblock är lika långa så är sidoytorna kvadrater. Rätblocket kallas då för en kub. En tärning, utan rundade hörn, är ett exempel på en kub.
Begränsningsarea
Om en kartong med formen av ett rätblock viks ut så bildar de sex ytorna en plan figur som består av rektanglar. Om vi adderar rektanglarnas area, får vi begränsningsarean. Ordet begränsning kommer från att det är kroppens gräns utåt.
Volymen av ett rätblock
Med volym menas hur stor en kropp är. När man beräknar en kropps volym utgår man ofta från en kub där kanterna är #1# cm. En sådan kub har volymen en kubikcentimeter. Vi kan räkna ut volymen så här:
#1# cm #\cdot 1# cm #\cdot 1# cm #= 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot# cm #\cdot# cm #\cdot# cm #= 1 \,\text{cm}^{3}#
Eftersom kroppen breder ut sig i tre dimensioner blir enheten i kubik, alltså upphöjd i tre #(cm^{3})#.
Det här rätblocket har en basyta med arean #5\,\cdot\,3\,\text{cm}^{2} = 15\,\text{cm}^{2}#. På den ytan kan vi lägga #15\,kuber# med volymen #1\,\text{cm}^{3}#. Eftersom rätblockets höjd är #4\,\text{cm}# så får det sammanlagt plats #15\,\cdot\,4\,kuber = 60# kuber med volymen #1\,\text{cm}^{3}#. Rätblockets volym är alltså #60\,\text{cm}^{3}#.
Vi ser att vi kan räkna ut volymen genom att multiplicera basytans area #B# med höjden #h# .
#V = B \cdot h#
I det här fallet är #B = 5\,\cdot\,3\,\text{cm}^{2} = 15\,\text{cm}^{2}# och #h \,=\,4\,\text{cm}#. Alltså är #V \,=\,15\,\cdot\,4\,\text{cm}^{3} = 60\,\text{cm}^{3}#.
