3 Geometri: 3.6 Cylinder, kon och klot
Cylinder
En cylinder består av en mantelyta och två parallella plana ytor där den ena kallas basyta. Arean av mantelytan och de två plana ytorna tillsammans ger begränsningsarean. Vilken som helst av de plana ytorna kan vara basyta. Mantelytan är ytan runt om cylindern. De plana ytorna är ofta cirkulära, men kan också vara oregelbundna. Det vinkelräta avståndet mellan dessa är cylinderns höjd.
Vi beräknar volymen av en cylinder genom att multiplicera basytans area #( B )# med höjden #( h )#.
#V = B \cdot h#
När basytans area är en cirkel, beräknas basytans area B med formeln:
#B = \pi \cdot r ^{2}#
Cylinderns mantelyta
Vi tänker oss att vi klipper upp cylinderns mantelyta längs med höjden. Om vi sen vecklar ut mantelytan får vi en rektangel. Rektangelns bas är lika med basytans omkrets, #\pi d# . Rektangelns höjd är lika med cylinderns höjd, #h# .
Arean för mantelytan, mantelarean, kan alltså beräknas med formeln:
#A = \pi \cdot d \cdot h#
Kon
En kon har ofta en cirkelformad basyta. Om en kon har lika stor basyta och höjd som en cylinder så är konens volym en tredjedel av cylinderns.
V #= \frac{{B\cdot\,h}}{3}#
Klot
Vår planet jorden är ett exempel på ett klot. När man ska beräkna volymen av ett klot använder man en formel som ser ut så här:
#V = \frac{4\cdot\,\pi\cdot\,r^3}{3}#
#r ^{3} = r \cdot r \cdot r#
AKTIVITET
Volymen av två #cylindrar192#
Materiel: #2# st #A4-papper,# linjal, miniräknare, tejp
Antal deltagare: #2# st eller fler
A Om du buktar ett #A4-papper# och för ihop sidorna kan du skapa en cylinder. Faktum är att du kan göra två olika cylindrar, den ena med kortsidan som höjd och den andra med långsidan som höjd. Den första cylindern blir bred och låg och den andra smal och hög.
B Mät sidorna på #A4-papperet# och anteckna måtten.
C Bilda de två möjliga cylindrarna av varsitt #A4-papper# med hjälp av tejp. Den ena cylindern med papperets kortsida som höjd och den andra med papperets långsida som höjd.
D Räkna ut volymen av cylindrarna. Avrunda till tiotal kubikcentimeter. Tänk på att den ena cylinderns basyta har samma omkrets som kortsidans längd och den andra samma som långsidans.
E Hade du rätt? Spelar det någon roll för volymens storlek vilken sida av papperet som används som höjd?
F Jämför de båda cylindrarnas mantelarea. Vad kommer du fram till då?
Vi beräknar volymen av en cylinder genom att multiplicera basytans area #( B )# med höjden #( h )#.
#V = B \cdot h#
När basytans area är en cirkel, beräknas basytans area B med formeln:
#B = \pi \cdot r ^{2}#
Cylinderns mantelyta
Vi tänker oss att vi klipper upp cylinderns mantelyta längs med höjden. Om vi sen vecklar ut mantelytan får vi en rektangel. Rektangelns bas är lika med basytans omkrets, #\pi d# . Rektangelns höjd är lika med cylinderns höjd, #h# .
Arean för mantelytan, mantelarean, kan alltså beräknas med formeln:
#A = \pi \cdot d \cdot h#
Kon
En kon har ofta en cirkelformad basyta. Om en kon har lika stor basyta och höjd som en cylinder så är konens volym en tredjedel av cylinderns.
V #= \frac{{B\cdot\,h}}{3}#
Klot
Vår planet jorden är ett exempel på ett klot. När man ska beräkna volymen av ett klot använder man en formel som ser ut så här:
#V = \frac{4\cdot\,\pi\cdot\,r^3}{3}#
#r ^{3} = r \cdot r \cdot r#
AKTIVITET
Volymen av två #cylindrar192#
Materiel: #2# st #A4-papper,# linjal, miniräknare, tejp
Antal deltagare: #2# st eller fler
A Om du buktar ett #A4-papper# och för ihop sidorna kan du skapa en cylinder. Faktum är att du kan göra två olika cylindrar, den ena med kortsidan som höjd och den andra med långsidan som höjd. Den första cylindern blir bred och låg och den andra smal och hög.
B Mät sidorna på #A4-papperet# och anteckna måtten.
C Bilda de två möjliga cylindrarna av varsitt #A4-papper# med hjälp av tejp. Den ena cylindern med papperets kortsida som höjd och den andra med papperets långsida som höjd.
D Räkna ut volymen av cylindrarna. Avrunda till tiotal kubikcentimeter. Tänk på att den ena cylinderns basyta har samma omkrets som kortsidans längd och den andra samma som långsidans.
E Hade du rätt? Spelar det någon roll för volymens storlek vilken sida av papperet som används som höjd?
F Jämför de båda cylindrarnas mantelarea. Vad kommer du fram till då?
