Ibland, när man ligger i sängen, just när man håller på att somna, känns det som om man plötsligt börjar falla, med sängen, rummet, huset. Man faller. Man griper, flaxar och vaknar. Åhhh, bara en dröm. Lättnad! Sängen står stadigt på golvet, och huset på $\sin$ grund. Stjärnbilderna hänger orörliga över horisonten $\ldots$ eller gör de det? Nej, de rör sig långsamt i förhållande till horisonten $\ldots$ och solen och planeterna dessutom i förhållande till stjärnhimlen. Det är för att jorden faller fritt i en spinnande bana runt solen. $30 k$ m per sekund, ett varv på ett år. $110 000 k$ ilometer i timmen. Så vi faller verkligen! Tillsammans med jorden, utan att det känns. Det syns bara för den som betraktar stjärnhimlen. Därför fungerar det för det mesta utmärkt att använda jorden som vårt referenssystem. När vi säger att vi cyklar i $20 k$ m/h så är det alltså relativt jorden $-$ och det behöver vi inte säga.

De flesta av oss har hört att vi lever i ett heliocentriskt universum, en värld med solen i centrum och planeterna i koncentriska cirkelbanor med olika radier. Merkurius, Venus, Tellus (jorden), Mars $\ldots$

"We are all lying in the gutter, but some of us are looking at the stars"

Oscar Wilde

$12.1$ Planeterna i vårt solsystem.

$12.2$ Solen faller tillsammans med sina drabanter genom Vintergatan.

Med solen som vårt referenssystem är det en bra modell. Men är det riktigt sant? Är det verkligen helt sant att solen befinner sig i vila i centrum, omgiven av sina drabanter, planeterna, var och en i $\sin$ cirkelbana? Nej, egentligen inte. Banorna är elliptiska, sett från solen, dessutom faller också solen. Den faller fritt i det samlade gravitationsfältet från Vintergatan, vår hemgalax. Med Vintergatans centrum som referenssystem faller solen med $230 k$ m per sekund i en bana runt galaxens centrum. Ett galaxår, det vill säga ett helt varv runt Vintergatans centrum, tar ungefär $230$ miljoner år. En galaktisk minut blir ungefär $450$ jordiska år. Nu trillar väl ingen baklänges av överraskning när de får höra att även Vintergatan faller tillsammans med sina galaxgrannar i den så kallade Lokala galaxhopen i det samlade gravitationsfältet från galaxerna i universum. Vintergatan faller med en fart av $400 k$ m per sekund, relativt bakgrunden av galaxhopar. Märker du det? Inte alls.

Denna totala frånvaro av "fartvind" eller fasta punkter gör att man kan undra om det är vi som faller genom rymden eller om det är rymden som faller genom oss? Vad är egentligen rymden när man tar bort alla partiklar, eller mellan alla partiklar? Är inte det frågor som kan få hjärnan i spinn när man ligger i $\sin$ fallande säng och försöker somna?

Men finns det då inte en enda punkt som är i vila? En punkt där vi kan "spika fast" vårt koordinatsystem? Så att vi får ett koordinatsystem som alla andra hastigheter kan relateras till. Nej, ett sådant referenssystem verkar det inte finnas i universum. Alla referenssystem är relativa.

Einsteins revolution

I mitten av $1800-$ talet hade man experimentellt funnit att ljushastigheten $c v$ ar ungefär $300 000 k$ m/s. Vid den här tiden hade man också kommit långt i utforskandet av elektriska och magnetiska fenomen. $1861$ lyckades engelsmannen Maxwell $(1831-1879)$ sammanfatta allt man visste om elektricitet och magnetism i några matematiska ekvationer. Ekvationerna visade att elektricitet och magnetism inte var separata fenomen utan olika sidor av elektromagnetismen. Maxwell lyckades även visa att man skulle kunna producera elektromagnetiska vågor. De här vågorna skulle enligt hans beräkningar ha en fart på $300 000 k$ m/s. Samma fart som ljuset! Men då måste väl ljus vara elektromagnetiska vågor? Den hypotesen bekräftades snabbt genom försök.

På den här tiden tänkte man att de elektromagnetiska vågorna måste ha ett medium som svängde med vågorna, som vatten med vatten­vågor eller luft med ljudvågor. Man antog att det fanns ett sådant medium, etern, och att rymden var fyllt med det. Man kunde ju se solen och stjärnorna!

De elektromagnetiska vågorna antogs ha farten $300 000 k$ m/s i förhållande till etern, ungefär som ljudvågor har farten $340$ m/s i förhållande till luften. Då borde man även kunna mäta olika ljusfarter beroende på vår fart i förhållande till etern, precis som vi på en båt skulle mäta olika våghastigheter relativt båten beroende på båtens hastighet i förhållande till vattnet.

$12.3$ Principen för Michelson-Morleys försök. Michelson och Morley försökte mäta skillnaden mellan $c _{1}$ och $c _{2}$ med en försöks­uppställning som var så noggrann att den kunde mäta små skillnader i ljushastigheten. Men de fann ingen skillnad.

Ytterst märkligt tyckte alla fysiker, utom den unge Albert Einstein $(1879-1955),$ som konstaterade att det var precis det han förväntade sig. För om man räknade ut ljushastigheten utifrån experiment med elektricitet och magnetism på rymdskeppet Jorden, eller fann den direkt genom mäta hur lång tid det tar ljuset att tillryggalägga en viss sträcka, så borde man alltid få samma resultat.

Ett postulat är något man påstår utan bevis.

Med utgångspunkt i den idén postulerade Einstein helt enkelt att ljushastigheten är densamma för alla observatörer, oavsett vilken fart de har. Det spelar ingen roll för mätresultatet om observatören är i vila eller i rörelse i förhållande till ljuskällan.

$1905$ publicerade Einstein den speciella relativitetsteorin. Teorin bygger på två postulat:

Låt oss ta ett par steg i sällskap med Einstein och hans samtida och se vart Einsteins postulat för oss

Konsekvenser av att ljusets hastighet i vakuum är konstant

Einsteins förklaring till att ljusets hastighet i vakuum är konstant krävde ingen eter med märkliga egenskaper. Dessutom hade Einsteins förklaring konsekvenser som gick att kontrollera. Först tar vi en titt på begreppet samtidighet.

$12.4$ Observatörerna kan varken vara överens om tid eller rum.

Samtidighet

Om man utgår från Einsteins första postulat, att ljushastigheten är densamma för alla observatörer, så måste man förändra en del invanda föreställningar, som den om ett absolut rum och en absolut tid som tickar lika fort för alla. Vi tänker oss (oftast?) att ett visst ögonblick existerar överallt samtidigt, för alla observatörer, men det är inte möjligt i Einsteins universum.

I Einsteins universum är det möjligt att något som sker samtidigt för en observatör inte sker samtidigt för en annan observatör. På den här tiden var tåg det snabbaste transportmedlet, så Einstein föreställde sig ett tåg som gick med en hastighet nära ljusfarten. Låt oss se närmare på Einsteins tåg.

$12.5$ Ljuset i vagnen

Beträffande två händelser på olika platser som är samtidiga för en observatör, kan man alltid tänka sig en annan observatör som befinner sig i rörelse i förhållande till den förste och för vilken händelserna inte är samtidiga.

Två händelser som sker samtidigt på samma plats är däremot samtidiga för alla observatörer. Annars hade vi fått äkta paradoxer, eller motsägelser. Både observatören på tåget och observatören på banvallen är överens om att ljuspulserna startade samtidigt från mitten av vagnen.

Tidsförlängning

Tänk dig nu att vi betraktar en "ljusklocka" i tågvagnen i exempel $4.$ En ljusklocka fungerar så att den sänder en ljuspuls från taket i tåget rakt ner till en detektor på golvet. Ljusklockan mäter tiden det tar för ljuspulsen att ta sig från taket till golvet. Inget konstigt med det. Låt oss kalla den tiden, mätt inne i tåget för $t _{0}.$

Föreställ dig nu att ljusklockan ombord på tåget betraktas av observatören på banvallen. Han ser tåget passera förbi med farten $v$ åt höger. Han konstaterar att ljuset sändes ned och träffar detektorn på golvet. Men, under tiden som ljuset är på väg, rör sig tåget framåt med farten $v.$ Ljuspulsen måste därför gå snett nedåt. Hur skulle den annars ha kunnat träffa detektorn som flyttar sig med tågets fart medan ljuset är på väg?

Men om båda är överens om ljuspulsens hastighet och höjden i tågvagnen, då kan de inte vara överens om tiden det tog. Sett från banvallen hade ljuset längre väg $-$ och det måste ta längre tid. Låt oss kalla den tiden för t.

$12.6$ Överst ljuspulsens väg sett från tåget. Nedanför ljuspulsens väg sett från banvallen. Om båda är överens om ljusets fart, så kan de omöjligt vara överens om tiden det tog. Ombord på tåget mäter man tiden t $_{0}$ och på banvallen tiden $t .$

Nu kan vi använda Pythagoras sats för att få fram sambandet mellan den tid $t _{0}$ som ljuspulsen använder från taket till golvet sett från tåget, och den tid $t$ som ljuspulsen använder sett från banvallen:

$( ct )^{2} = ( ct _{0})^{2} + ( vt )^{2}$

$( ct )^{2} - ( vt )^{2} = ( ct _{0})^{2}$

$t ^{2}( c ^{2} - v ^{2}) = ( ct _{0})^{2}$

MATHawex $4$ yBaEV

MATH $4$ mZrVwCIfp

Nu har vi kommit fram till en mycket viktig relation som är den så kallade tidsförlängningen eller tidsdilatationen:

$12.7$

Sambandet gäller alla typer av klockor, pendelur, pulsslag, atomklockor, kemiska reaktioner osv. Det gäller alla klockor eftersom det djupast sett handlar om den tid de mäter.

Nåja, tänker du, detta är exotisk och kanske rentav hypotetisk fysik. Men så är det inte. Denna märkliga relation bekräftas tusenfalt varje dag på laboratorier runt om i världen $-$ och av dig själv när du använder GPS. Det är en liten effekt vid "normala" hastigheter, men dagens precisionsklockor kan ändå mäta den direkt när den ena klockan rör sig i joggingfart förbi den andra. Detta är alltså inte en osäker hypotes utan tvärtom en mursten i fysikens fundament.

Formeln blir mycket enklare om vi inför gammafaktorn, MATHl $7$ sMuRrGyE då kan vi skriva

$t =$ γt $_{0}.$

Vid "vanliga" hastigheter är gammafaktorn mycket nära $1.$

$12.8$ Gammafaktorn som funktion av $v/$ c. Du kan själv se hur γ varierar med $x  (=$ $v/$ c) på miniräknaren. I figuren ser vi att när $v  = 0,87 c$ så går klockan på banvallen dubbelt så fort som den förbiflygande klockan.

När vi betraktar en klocka i rörelse relativt oss visar det sig alltså att den visar en annan tid än vår egen klocka. Men hur blir det med vår uppfattning av rummet?

Uttrycket kallas för längdförkortning, längdkontraktion eller Lorenz­kontraktion. Lägg märke till att $l  ≤  l _{0}$ och att likhet bara gäller när observatörerna är vila i förhållande till varandra. Om en meterstav far förbi oss med farten $v  = 0,87 c$ mäter vi den till en halv meter enligt grafen i figur $12.8.$

Symmetri i relativitetsteorin

Om alla observatörer som reser med samma fart är likvärdiga och med samma rätt kan hävda att det är de som är i vila och andra som rör sig, ja då skulle ju våra vänner ombord på tåget kunna hävda att det var de på banvallen som rörde sig. Betraktade de en klocka på perrongen när de susade förbi så skulle det se ut som om det var den klockan som saktade sig. Och, ja så är det. Det märkliga är att det inte leder till några paradoxer så länge man håller ordning på sina mätstavar och klockor.

Energi i relativitetsteorin

Vi använder beteckningen $E ,$ när vi pratar om relativistisk energi i stället för W.

Kommer du ihåg att vi räknade ut den kinetiska energin hos ett föremål när vi utförde ett arbete på det. Vi fann att ${W_{\text{k}}} = F \cdot s = \frac{1}{2}m{v^2}$. Vi sade också att det var nästan sant. När farten blir så stor att vi måste räkna relativistiskt får vi ett helt annat uttryck.

Kraften är ju lika med massa gånger acceleration, och accelerationen beror av längd och tid som båda förändras när vi räknar relativistiskt. Både kraften $F$ och vägen $s k$ ommer att ge relativistiska bidrag. Själva uträkningen kräver matematik som du inte lär dig förrän om ett par år, så vi skriver bara upp resultatet:

Vi påstod även att det relativistiska uttrycket alltid är sant, det vill säga även vid låga farter, medan det klassiska uttrycket är nästan sant vid låga farter, men blir mer och mer fel vid högre farter. När farten överstiger $0,1 c$ brukar vi räkna relativistiskt här i gymnasiekursen.

Men om båda uttrycken fungerar vid låga farter ska de ju ge ungefär samma resultat. Låt oss se på figur $12.9,$ som visar hur de två uttrycken utvecklar sig när farten ökar.

Som du ser stiger det klassiska uttrycket som en parabel förbi hastighets­begränsningen, c. Den relativistiska kinetiska energin däremot växer över alla gränser under tiden som farten närmar sig $-$ men når aldrig fram till c.

Inte ens om vi kunde använda vintergatans $200$ miljarder stjärnors samlade effekt på en enda elektron kunde vi pressa upp den i ljusfarten. Men vi skulle komma mycket nära. På partikellaboratoriet CERN accelererar man just nu protoner upp till $99,999999$ % av ljushastigheten.

$12.9$ Den klassiska kinetiska energin jämfört med den relativistiska. Gör det själv på miniräknaren genom att sätta massan lika med $1 k$ g och $c  = 1.$

Einsteins berömda formel $E  =  mc ^{2}$ är den energi ett föremål har när det är i vila.

När vi ser på uttrycket $E _{kin} =$ γmc $^{2} -  mc ^{2}$ så kan man ju undra över det andra ledet, $mc ^{2}.$ Einstein insåg att γmc $^{2} v$ ar den totala energin som föremålet hade, och $mc ^{2} v$ ar en energi det hade när det var i vila. Hur ska det tolkas?

Jo, det betyder att massa är ekvivalent med energi. Har vi massa så kan vi omforma den till energi och tvärtom. Det är det man håller på med på CERN. Man låter partiklar frontalkollidera så att summan av deras massenergier och rörelseenergier kan omvandlas till nya partik­lar. Ju mer energi i kollisionen desto tyngre partiklar kan de producera. Alla kemiska eller kärnfysikaliska reaktioner som avger energi (exoterma) tar lite massa från bränslet. Till exempel en brinnande tändsticka. Väger man allt som kommer ut ur reaktionen så ser man att det är lite lättare än allt det som gick in i den.

$12.10$

Sammanfattningsvis kan vi slå fast att ett föremåls totala energi är summan av dess kinetiska energi och dess viloenergi, när vi bortser från eventuell potentiell energi: