Rörelseformlerna

Nu ska vi titta närmare på vår modell för acceleration. Vi förutsätter att accelerationen är konstant och vi kan då ställa oss frågan: hur kommer sambandet att se ut för motorcyklisten i exempel 3 om han har en hastighet $v_0$ från början? Sambandet får då utseendet $$v = v_0 + at$$ på samma sätt som vid sträckformeln vid konstant hastighet. Detta är hastighetsformeln vid en accelererad rörelse.

Lägg märke till att det här är ekvationen för en rät linje som skär den lodräta axeln i punkten $(0, v_0)$ och har lutningen $a$. Se figur 3.15.

3.15 $v$-$t$ -graf vid konstant acceleration.
I figur 1 ökar hastigheten jämnt, accelerationen är positiv.
I figur 2 minskar hastigheten jämnt, accelerationen är negativ.

Hur skulle vi kunna räkna ut hur långt Ebba har hunnit efter $5{,}0 \text{ s}$? Som du har sett tidigare i figur 3.15 är hastighetskurvan en rät linje. Då blir medelhastigheten under tiden $t$ lika med medelvärdet av starthastigheten och sluthastigheten, $$\bar{v} = \frac{\text{starthastighet} + \text{sluthastighet}}{2} = \frac{v_0 + v}{2} = \frac{1}{2}(v_0 + v)$$

Nu kan vi beräkna den sträcka $s$ som avverkats under tiden $t$. Vi får $$s = \bar{v} t = \frac{1}{2}(v_0 + v) t$$ Detta är den första sträckformeln vid konstant acceleration.

Arean under en $v$-$t$-graf kan alltid tolkas som den tillryggalagda sträckan. Det betyder att sträckan $s$ motsvarar arean av det färglagda trapetset i figur 3.16.

3.16 v-t-graf till sträckformel 1

Sträckformel 1 innehåller starthastigheten, sluthastigheten och tiden, men inte accelerationen. Det är ofta värdefullt att ha en sträckformel som innehåller accelerationen. Vi sätter in hastighetsformeln $v = v_0 + at$ i sträckformel 1. $$s = \frac{1}{2}(v_0 + v)t = \frac{1}{2}(v_0 + \overbrace{v_0 + at}^{v})t = v_0t + \frac{1}{2}at^2$$ Detta är den andra sträckformeln vid konstant acceleration.

Sträckformel 2 kan du själv komma fram till genom att summera arean av rektangeln och triangeln i figur 3.17.

3.17 v-t-graf till sträckformel 2.