4 Newtons lagar: 4.6 Fysikaliska modeller
Modeller för gummisnoddars elasticitet
Syfte: Målet med laborationen var att ta fram en modell för ett gummibands elasticitet, det vill säga vi skulle bestämma hur stor dragkraft som krävs för att töja ett gummiband en viss sträcka.
Utförande: Vi knöt samman fem breda gummiband till ett ca \( 0{,}4 \text{ m}\) långt band. I ena änden hängde vi en plastkopp. Sen stoppade vi i fler vikter i plastkoppen och mätte gummibandets förlängning med en meterstav som stod på golvet.
Resultat:
| Sträcka/m | Kraft/N |
|---|---|
| \(0\) | \(0\) |
| \(0{,}01\) | \(0{,}49\) |
| \(0{,}025\) | \(0{,}98\) |
| \(0{,}045\) | \(1{,}47\) |
| \(0{,}068\) | \(1{,}96\) |
| \(0{,}088\) | \(2{,}45\) |
| \(0{,}13\) | \(3{,}43\) |
| \(0{,}195\) | \(4{,}41\) |
| \(0{,}255\) | \(5{,}39\) |
| \(0{,}335\) | \(6{,}37\) |
| \(0{,}414\) | \(7{,}35\) |
| \(0{,}535\) | \(8{,}33\) |
| \(0{,}655\) | \(9{,}31\) |
1. Linjär modell:
Linjär regression gav modellen, \[ F(x) = 14{,}30x + 0{,}97 \text{ där fjäderkonstanten } k = 14{,}30 \text{ N/m}. \]
Vi såg att mätpunkterna avvek systematiskt (alltså inte slumpmässigt) från den räta linjen. Det tyder på att detta inte är en riktigt bra modell. Dessutom utgår inte den räta linjen från origo, och det måste vara ett krav för vår modell.
2. Kvadratisk modell
När vi valde att anpassa ett andragradspolynom till punkterna fick vi följande resultat: \[ F(x) = -15{,}40x^2 + 23{,}5x + 0{,}355 \]
Av figuren att döma är den kvadratiska modellen bättre än den linjära modellen. Men mätpunkterna tycks fortfarande avvika systematiskt. De fördelar sig inte riktigt slumpmässigt på båda sidor om grafen. I vissa områden ligger alla punkter ovanför grafen och i andra under grafen.
3. Kubisk modell
Vi valde slutligen att anpassa ett tredjegradspolynom till mätpunkterna: \[ F(x) = 24{,}0x^3 – 38{,}2x^2 + 28{,}8x + 0{,}180 \]
Detta gav utan tvivel den bästa anpassningen av en funktionsgraf till mätpunkterna. Mätpunkterna fördelar sig relativt slumpmässigt på båda sidor om grafen.
Slutsats: Om vi nu ska använda modellen i ett praktiskt sammanhang - vilken modell bör vi då använda? Vi tror att den kubiska modellen är det givna valet eftersom den ligger närmare mätpunkterna. Men om vi till exempel ska hoppa bungy och behöver modellen för att ta reda på gummibandets längd i förhållande till hopparens massa och höjden, bör vi kanske tänka annorlunda.
Då är det nog bättre med en modell som är enkel att använda och räkna på, snarare än en som ger ett lite noggrannare svar men också medför större risk för att användaren räknar fel.
