6 Rörelsemängd: 6.2 Impulslagen
Impulslagen
Impulslagen
Nu ska vi hitta sambandet mellan impulsen och förändringen av rörelsemängd.
Ett föremål med massan \(m\) påverkas av en konstant resultantkraft \( F_\text{res} \) under tiden \(\Delta t\). Om utgångshastigheten är \( v_0 \) och sluthastigheten \(v\) så blir accelerationen \[ a = \frac{v-v_0}{\Delta t} \quad \text{ (hastighetsändringen under tiden \( \Delta t \)) } \]
Newtons andra lag, \( F_\text{res} = ma \), ger då \[ F_\text{res} = ma = m\frac{v-v_0}{\Delta t} = \frac{mv - mv_0}{\Delta t} \]
Vi multiplicerar med Δt på båda sidor och får \[ F_\text{res} \Delta t = mv - mv_0 = p - p_0 = \Delta p \]
Det betyder att resultantkraften \(F_\text{res}\) ger föremålet en impuls som är lika med ändringen av föremålets rörelsemängd. Resultatet kallar vi impulslagen:
När ett föremål påverkas av krafter, ger resultantkraften föremålet en impuls som är lika med ändringen av föremålets rörelse mängd. \[ I = p-p_0 = \Delta p \]
Impulslagen innehåller strängt taget inte något nytt. Den är bara en matematisk omskrivning av Newtons andra lag.
En bordtennisboll har massan \( m = 2{,}5 \text{ g} \). Ett slag från racketen gör att hastigheten ändras från \(10 \text{ m/s}\) till \(18 \text{ m/s}\) i motsatt riktning. Hur stor är impulsen på bollen?
Lösning: Vi väljer den nya hastighetsriktningen som positiv. Då är \(v_0 = -10 \text{ m/s}\) och \(v = 18 \text{ m/s}\). Impulslagen ger \[ I = mv - mv_0 = 2{,}5 \cdot 10^{-3} \cdot (18 - (- 10)) \text{ Ns} = 7{,}0 \cdot 10^{-2} \text{ Ns} \]
Racketen ger bordtennisbollen en impuls på \( 0{,}070 \text{ Ns} \) i samma riktning som sluthastigheten.
Om vi vet hur länge bollen är i kontakt med racketen, kan vi beräkna hur stor kraften är. Ju kortare tid desto större kraft om impulsen är densamma.
En bilfabrik gör ett kollisionstest på ett vågrätt underlag. En bil har hastigheten \(v_0 = 18 \text{ km/h} = 5{,}0 \text{ m/s}\) och kolliderar med en kraftig vägg. Hastigheten avtar till noll på \(25 \text{ ms}\). En docka med massan \(m = 60 \text{ kg}\) är fastspänd i bilen. Hur stor impuls får dockan från bilbältet? Och hur stor kraft måste bältet tåla, om vi antar att kraften från bältet är konstant?
Lösning: Efter kollisionen har bilen och dockan hastigheten \( v = 0 \). Av impulslagen får vi \[ I = 0 - mv_0 = - mv_0 \]
Minustecknet säger oss att impulsen pekar bakåt. Impulsens storlek är \[ I = mv_0 = 60 \cdot 5{,}0 \text{ Ns} = 300 \text{ Ns} \]
Vi tänker oss att kraften F från bilbältet är den enda vågräta kraften som verkar på dockan. Om \(F\) är konstant, får vi \(I = F \cdot \Delta t\). Kraften blir \[ F = \frac{I}{\Delta t} = \frac{300}{0{,}025} \text{ N} = 12 \text{ kN} \]
Det motsvarar tyngden av \(1 \ 200 \text{ kg} \). Enligt Newtons tredje lag verkar dockan på bilbältet med en kraft som är lika stor och motsatt riktad.
Resultatet förutsätter att kraften är konstant. Det är den säkert inte. Måste bilbältet tåla mer eller mindre än \(12 \text{ kN}\) när kraften inte är konstant?
