Potenser med heltalsexponenter

1c 1. Aritmetik och algebra: 1.2 Tal i potensform

Potenser med heltalsexponenter

Additionen $4 + 4 + 4 + 4 + 4$ kan vi skriva som en produkt: $5 · 4.$

Även en upprepad multiplikation kan skrivas enklare. Produkten $5 · 5 · 5$ skriver vi i stället $5$ ^$3$.

Skrivsättet kallas potensform. $5$ ^$3$ kallas för en potens och utläses
" $5$ upphöjt till $3$ ". $5$ är bas och $3$ är exponent.

Vi beräknar potenser före multiplikation och division, till exempel $5 · 2$ ^$3$ = $5 · 8.$

Så här gör vi när vi räknar med potenser:

Multiplikation av potenser
$4^5 \cdot 4^2 = 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^7$	Vi adderar exponenterna.
Division av potenser
$\frac{{{5^4}}}{{{5^2}}} = \frac{{5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5}}{{5 \cdot 5}} = {5^{4 - }}^2 = {5^2}$	Vi subtraherar exponenterna.
$\frac{{{5^2}}}{{{5^4}}} = \frac{{5 \cdot 5}}{{5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5}} = \frac{1}{{{5^2}}} = {5^{ - 2}}$	Enligt regeln för division av potenser gäller $\frac{{{5^2}}}{{{5^4}}} = {5^{^{2 - 4}}}={5^{ - 2}}$ Slutsatsen blir att $\frac{1}{{{5^2}}} = {5^{ - 2}}$ .
$\frac{{{5^2}}}{{{5^2}}} = {5^{^{2 - 2}}} = {5^0} = 1$	$\frac{{{5^2}}}{{{5^2}}} =1$ eftersom ett tal dividerat med sig självt blir 1. Slutsaten blir att ${5^0} = 1$
Potens av en potens
$({5^2})^3 = {5^2} \cdot {5^2} \cdot {5^2}=$ $= {5^{2 + 2 + 2}} = {5^{2 \cdot 3}} = {5^6}$	Vi multiplicerar exponenterna.
Potens av en produkt
$(5 \cdot 2)^3$ = $5 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2 =$ $=5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 5^3\cdot\,2^3$	Vi upphöjer varje faktor i parentesen.
Potens av en kvot
${\left( {\frac{2}{3}} \right)^2} = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{{{2^2}}}{{{3^2}}}$	Vi upphöjer nämnare och täljare var för sig.

$\,$

Räkneregler för potenser

$a^x \cdot a^y = a^{x+y}$	Vid multiplikation av potenser med samma bas adderas exponenterna.
$\frac{{{a^x}}}{{{a^y}}} = {a^{x - y}}$ , $($ $a$ $\ne$ $0)$	Vid division av potenser med samma bas subtraheras exponenterna.
$\frac{1}{{{a^x}}} = {a^{ - x}}$ , ( $a\ne 0$ )	En positiv exponent i nämnaren kan skrivas som en negativ exponent i täljaren.
$a^0=1$ , ( $a \ne 0$ )	Allt som upphöjs till $0$ blir $1$ .
$(a^x)^y=a^{xy}$	Vid potens av en potens multipliceras exponenterna.
$(a \cdot b)^x = a^x \cdot b^x$	Vid potens av en produkt upphöjs varje faktor för sig.
${\left( {\frac{a}{b}} \right)^x} = \frac{{{a^x}}}{{{b^x}}}$ , $(b\ne 0)$	Vid potens av en kvot upphöjs nämnare och täljare för sig.

$\,$

Kontroll

Vad kallas $5$ :an och vad kallas $3$ :an i potensen $5^3$ ?
Vad blir $3^0$ ?
Hur gör du med exponenterna vid

a) multiplikation av potenser med samma bas?

b) division av potenser med samma bas?

c) en potens av en potens?

Svar

Basen är $5$ , exponenten är $3$ .
$3^0=1$
a) Adderar exponenterna.

b) Subtraherar exponenterna.

c) Multiplicerar exponenterna.

$\,$

Skriv som en potens med hjälp av räknereglerna.

$7^2\cdot 7^6$
$\,$

$\,$
Här har vi multiplikation av två potenser med samma bas och vi adderar då exponenterna.

$7^2 \cdot 7^6 =7^{2+6}=7^8$

Nästa exempel

Förenkla $5^2 \cdot 3^4 \cdot 5^{-1}\cdot 3^{-2}$ med hjälp av räknereglerna och svara i potensform.
$\,$

$\,$
Vi beräknar varje bas för sig:

$5^2 \cdot 3^4 \cdot 5^{-1}\cdot 3^{-2} = 5^{2-1}\cdot 3^{4-2}=5\cdot 3^2$

Nästa exempel

Förenkla med hjälp av räknereglerna

$(4\cdot 2)^3$
$\,$

$\,$
Här har vi en potens av en produkt och vi upphöjer då varje faktor var för sig.

$(4\cdot 2)^3 = 4^3 \cdot 2^3$

Ofta använder vi regeln "baklänges": $4^3\cdot2,5^3=(4\cdot2,5)^3=10^3$

Nästa exempel

Vilket värde har k om $2$ ^$2$ = $4^k$ ?

$\begin{array}{rcll} \displaystyle 2^2 &=& (2^2)^k & \text{Vi skriver om } 4 \text{ som } 2^2\text{, så att vi får samma bas på båda sidor om likhetstecknet.}\\ 2^2 &=& 2^{2k} & \text{Vi förenklar med hjälp av räknereglerna och jämför exponenterna.}\\ 2 &=& 2k &\\ k &=& 1 &\\ \end{array}$

Nästa exempel