Förenkling av uttryck Del I

1c 1. Aritmetik och algebra: 1.3 Uttryck

Förenkling av uttryck Del I

Vi kan bara addera och subtrahera likformiga termer. Till exempel så har # x , y , x ^{2}, y ^{3} # och # xy # inte samma betydelse och kan därför inte adderas eller subtraheras.

#3 x + xy + # #2# y #+3 x - 5 y - yx =#

#= 3 x + 3 x + 2 y - 5 y + xy - yx =#

Vi samlar likformiga termer intill varandra för att lättare kunna addera och subtrahera dem.

#= 6 x - 3 y #

Vi har förenklat uttrycket.

Observera att # xy = yx . # Man brukar skriva variabler i bokstavsordning.

Kontroll

Förenkla uttrycken

a) #2 x + 2 x - x ^{2} #

b) #12 a + 3 b - 7 a - 3 b + ab #

Svar

a) #4x - x^2#

b) #5a + ab#

Uttryck med parenteser

I uttrycket #2 x + (3 - x ) # ska hela parentesen adderas till #2 x . # När parentesen tas bort får vi:

#2 x + (3 - x ) = 2 x + (+3) + (- x ) = 2 x + 3 - x = x + 3 #

I uttrycket #2 x - (3 - x ) # ska vi istället subtrahera hela parentesen från #2 x . # När parentesen tas bort får vi:

#2 x - (3 - x ) = 2 x - (+3) - (- x ) = 2 x - 3 + x = 3 x - 3 #

Som tidigare ger lika tecken efter varandra ett positivt resultat och olika tecken efter varandra ett negativt resultat.

#\,#

Regler vid förenkling

#\quad\text{ }3 y ^{2} + 2 yx + y ^{2} - xy = 4 y ^{2} + xy \\
\quad\text{ }2 x \color{red}{+} ( y - x ) = 2 x + y - x = x + y \\
\quad\text{ }2 x \color{red}{-} ( y - x ) = 2 x - y + x = 3 x - y #

#\quad \text{Likformiga termer adderas/subtraheras.} \\
\quad \text{Vid addition ändras inga tecken i parentesen då den tas bort.} \\
\quad \text{Vid subtraktion ändras alla tecken i parentesen då den tas bort.}#

#\,#

Förenkla uttrycket #11 ba - 8 - (4 - 3 ab )#.

#11 ba - 8 - (4 - 3 ab ) = 11 ab - 8 - 4 + 3 ab = 14 ab - 12 #

Nästa exempel

Förenkla uttrycket #-4 x + 7 + (4 y - x ) + 3 - ( x - 2 y + 8) # och beräkna sedan värdet då # x = 3 # och # y = 4. #

#-4 x + 7 + (4 y - x ) + 3 - ( x - 2 y + 8) = -4 x + 7 + 4 y - x + 3 - x + 2 y - 8 = 6 y - 6 x + 2 #

Uttryckets värde då # x = 3 # och # y = 4 # är

#6 \cdot 4 - 6 \cdot 3 + 2 = 24 - 18 + 2 = 8 #

Nästa exempel

Albin tjänar dubbelt så mycket som Lea så när som på #1 200 # kr. Astrid tjänar #700 # kr mer än Albin. Om vi vill visa hur deras genomsnittslön ser ut kan vi göra det med ett algebraiskt uttryck.

"Så när som på #1\ 200#" betyder "det fattas #1\ 200#".

Anta att

Lea tjänar # x # kr.

Albin #(2 x - 1 \,200) # kr.

Astrid #(2 x - 1 \,200 + 700) # kr #= (2 x - 500) # kr.

Uttrycket för genomsnittslönen blir då:

#\frac{{x + (2x - 1\;200) + (2x - 500)}}{3} = \frac{{x + 2x - 1\;200 + 2x - 500}}{3} = \frac{{5x - 1\,700}}{3}#

Om Leas lön är #16\ 540 # kr blir värdet av uttrycket:

#\frac{{5 \cdot 16\;540 - 1\;700}}{3} = \frac{{82\;700 - 1\;700}}{3} = 27\;000#

Tolkningen av detta är att om Lea tjänar #16\,540 # kr är genomsnittslönen för de tre personerna #27\,000 # kr.

Nästa exempel