Annuitet

Ett annuitetslån innebär att man betalar en lika stor summa varje månad eller år, inklusive amortering och ränta, under hela återbetalningstiden.

Ulla tar ett annuitetslån för att köpa en bil för #80 \,000 # kr. Lånet ska vara avbetalat på #5 # år, och årsräntan på lånet är #5,0 # %. Hon ska betala av årsvis på lånet.

Slutvärdet av hennes skuld är totala värdet av hennes lån inklusive ränta för #5 # år framåt:

#80 \,000 \cdot 1,050^{5} # kr #= 102 \,103 # kr

Hur mycket ska hon betala in per år? Vi antar att hon betalar # x# kr per år. Problemet är, att när hon har betalat av # x# kr så sjunker räntans storlek, eftersom skulden minskar. Första året ska hon betala ränta på hela skulden. Nästa år ska hon betala ränta på skulden minus den första amorteringen, som är en del av den första inbetalningen och så vidare.

Värdet av hennes inbetalningar blir # x# #\cdot# #1,\!050^{4} + x \cdot 1,\!050^{3} + x \cdot 1,\!050^{2} + x \cdot 1,050 + x, # och tillsammans ska dessa bli lika stora som slutvärdet.

Alla termer innehåller # x#, så vi kan bryta ut # x# ur uttrycket.

Vi får uttrycket # x# #(1,\!050^{4} + 1,\!050^{3} + 1,\!050^{2} + 1,050 + 1)#.

Summan i parentesen går att beräkna med räknaren. Här får vi ungefär #5,5256x#.

Denna summa har samma värde som slutvärdet av hennes skuld: #5,5256x = 102\, 103#.

Ekvationen har lösningen # x# #= 18 \,478. # Ulla ska alltså betala #18 \,478 # kr per år för sitt annuitetslån, under alla fem åren hon betalar av på sitt lån.

• Oskar tar ett annuitetslån på #40\,000 # kr på fyra år, där räntan är #6,0 # %.
  
  1. Beräkna slutvärdet.
  2. Skriv ett uttryck som visar värdet av hans fyra inbetalningar.
  3. Beräkna annuiteten, det vill säga hur stort belopp Oskar ska betala per år.
• Ali tar ett annuitetslån på #100\,000 # kr på fem år, där räntan är #3,5 # %. Beräkna annuiteten, det vill säga hur stort belopp han ska betala per år.)