En bokklubb har en medlemsavgift på #100 # kronor per år. Som medlem får man köpa böcker för #40 # kronor styck. Om man köper # x # böcker på ett år blir kostnaden
# y = 40 x + 100 #
Vi gör en värdetabell och ritar grafen.

# x #	# y = 40 x + 100#
#0#	#100#
#5#	#300#
#10#	#500#

Av figuren framgår att grafen till funktionen # y = 40 x + 100 # är en rät linje. Koefficienten framför # x , # det vill säga #40, # är linjens lutning eller riktningskoefficient. För varje bok vi köper ökar kostnaden med #40 # kr. Riktningskoefficienten brukar betecknas # k . #
Vi ser också att när # x = 0 # är # y = 100. # Om vi sätter in # x = 0 # i funktionsuttrycket försvinner den första termen och endast konstanttermen, #100, # blir kvar. Linjens skärningspunkt med # y #-axeln brukar betecknas # m . #
Alla samband på formen # y = kx + m # har grafer som är räta linjer. De kallas därför linjära samband. # k # är linjens riktningskoefficient. # m # är # y #-koordinaten för linjens skärningspunkt med # y #-axeln. Om # m = 0 # är # y # direkt proportionell mot # x . #
Sambandet # y = kx + m # kallas också för räta linjens ekvation.
# m #-värdet
Vi ritar tre parallella linjer med hjälp av värdetabeller

# x #	# y = x + 4#
#-1#	#-1 + 4 = 3#
#0#	#0 + 4 = 4#
#1#	#1 + 4 = 5#

# x #	# y = x + 1#
#-1#	#-1 + 1 = 0#
#0#	#0 + 1 = 1#
#1#	#1 + 1 = 2#

# x #	# y = x - 2#
#-1#	#-1 - 2 = -3#
#0#	#0 - 2 = -2#
#1#	#1 - 2 = -1#

I den punkt där linjen skär # y #-axeln är # x = 0, # det vill säga # y = k \cdot 0 # #+ # m #= m . #

Kontroll

Bestäm linjernas # m #-värden

Linjens lutning, riktningskoefficienten, # k #
Koordinatsystemet visar tre linjer med samma # m #-värde men med olika lutning, alltså olika # k #-värden. För att bestämma riktningskoefficienten # k # måste vi utgå från två punkter på linjen. # k #-värdet anger hur mycket # y # ökar, längs linjen, om # x # ökar med #1. #
Vi studerar en linje i taget.
Linjen y #=# #2 x + 1 #
Vi utgår från punkterna #(1, 3) # och #(2, 5) # som båda ligger på linjen. Om vi har koordinaterna för två punkter på en linje kan vi använda dessa för att bestämma linjens lutning:
#k = \frac{{{\text{ändring i }}y{\text{ - led}}}}{{{\text{ändring i }}x{\text{ - led}}}} = \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}#
Ändringen i # y #-led är #5 - 3 = 2, # så Δ # y = 2. #
Ändringen i # x #-led är #2 - 1 = 1, # så Δ # x = 1. #
#\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}# uttalas "delta # y # genom
delta # x # ". Deltasymbolen Δ används i matematiken för att visa förändring eller differens.
Här gäller #k = \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \frac{2}{1} = 2#. Ett positivt # k #-värde innebär att # y #-värdet ökar då # x # ökar. Man säger att "linjen har positiv lutning" om # k > 0. #
Linjen y #= #-x #+# #1 #
Här utgår vi från punkterna #(0, 1) # och #(1, 0). #
Ändringen i # y #-led är Δ # y = 0 - 1 = -1. #
Ändringen i # x #-led är Δ # x = 1 - 0 = 1. #
#k = \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \frac{{ - 1}}{1} = - 1#. Ett negativt # k #-värde innebär att # y #-värdet minskar då # x # ökar. Man säger att "linjen har negativ lutning" om # k < 0. #
Linjen # y = 0,5# x #+# #1 #
Vi utgår från punkterna #(0, 1) # och #(2, 2). #
#k = \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \frac{{2 - 1}}{{2 - 0}} = \frac{1}{2} = 0,5#
Även denna linje har positiv lutning.

Kontroll

Bestäm linjernas # k #-värden.

Räta linjens ekvation # y = kx + m # # m # anger var grafen skär # y #-axeln. # k # är riktningskoefficicenten som anger linjens lutning: #k = \frac{{{\text{ändring i }}y{\text{ - led}}}}{{{\text{ändring i }}x{\text{ - led}}}} = \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}# Ett positivt # k #-värde innebär att # y #-värdet ökar då # x # ökar. Ett negativt # k #-värde innebär att # y #-värdet minskar då # x # ökar. Parallella linjer har samma lutning och därmed samma # k #-värde.