En bokklubb har en medlemsavgift på #100 # kronor per år. Som medlem får man köpa böcker för #40 # kronor styck. Om man köper # x # böcker på ett år blir kostnaden

#\quad y = 40 x + 100 #

Vi gör en värdetabell och ritar grafen.

Av figuren framgår att grafen till funktionen # y = 40 x + 100 # är en rät linje. Koefficienten framför # x , # det vill säga #40, # är linjens lutning eller riktningskoefficient. För varje bok vi köper ökar kostnaden med #40 # kr. Riktningskoefficienten brukar betecknas # k . #

Vi ser också att när # x = 0 # är # y = 100. # Om vi sätter in # x = 0 # i funktionsuttrycket försvinner den första termen och endast konstanttermen, #100, # blir kvar. Linjens skärningspunkt med # y #-axeln brukar betecknas # m . #

Alla samband på formen # y = kx + m # har grafer som är räta linjer. De kallas därför linjära samband. # k # är linjens riktningskoefficient. # m # är # y #-koordinaten för linjens skärningspunkt med # y #-axeln. Om # m = 0 # är # y # direkt proportionell mot # x . #

Sambandet # y = kx + m # kallas också för räta linjens ekvation.

# m #-värdet

Vi ritar tre parallella linjer med hjälp av värdetabeller

#x# #y=x+4# #-1# #-1+4=3# #0# #0+4=4# #1# #1+4=5# #x# #y=x+1# #-1# #-1+1=0# #0# #0+1=1# #1# #1+1=2# #x# #y=x-2# #-1# #-1-2=-3# #0# #0-2=-2# #1# #1-2=-1#

I den punkt där linjen skär # y #-axeln är # x = 0#, det vill säga # y = k \cdot 0+m = m #.

#\,#

Kontroll

Bestäm linjernas #m#-värden

#\,#

#\,#

Linjens lutning, riktningskoefficienten, # k # Koordinatsystemet visar tre linjer med samma #m#-värde men med olika lutning, alltså olika #k#-värden. För att bestämma riktningskoefficienten #k# måste vi utgå från två punkter på linjen. #k#-värdet anger hur mycket #y# ökar, längs linjen, om #x# ökar med #1#. Vi studerar en linje i taget. I bilden nedan har vi linjen @y = 2x + 1@.

Vi utgår från punkterna @(1, 3)@ och @(2, 5)@ som båda ligger på linjen. Om vi har koordinaterna för två punkter på en linje kan vi använda dessa för att bestämma linjens lutning:

Ändringen i #y#-led är #5-3=2#, så #\Delta y = 2#.

Ändringen i #x#-led är #2-1=1#, så #\Delta x = 1#.

Här gäller @k = (\Delta y)/(\Delta x) = 2/1 = 2@. Ett positivt #k#-värde innebär att #y#-värdet ökar då #x# ökar. Man säger att "linjen har positiv lutning" om @k > 0@.

Nedan har vi linjen @y = -x + 1@

Här utgår vi från punkterna @(0, 1)@ och @(1, 0)@.

Ändringen i #y#-led är @Δy = 0 – 1 = –1@.

Ändringen i #x#-led är @Δx = 1 – 0 = 1@.

@k = (\Delta y)/(\Delta x) = -1/1 = -1@. Ett negativt #k#-värde innebär att #y#-värdet minskar då #x# ökar. Man säger att "linjen har negativ lutning" om @k < 0@.

I nästa koordinatsystem visas linjen @y = 0,5x + 1@.

Vi utgår från punkterna @(0, 1)@ och @(2, 2)@.

@k = (\Delta y)/(\Delta x) = (2-1)/(2-0) = 1/2 = 0,5@

Även denna linje har positiv lutning.

#\,#

Kontroll

Bestäm linjernas #k#-värden

#\,#

Två viktiga linjer

För att kunna beskriva alla räta linjer som kan dras i ett koordinatsystem behöver vi också kunna beskriva linjer som är parallella med koordinataxlarna.

Linjen # y = m#, där # m # är konstant, är parallell med # x #-axeln.

Linjen # x = a#, där # a # är konstant, är parallell med # y #-axeln.

Bestäm linjernas ekvationer