Gustav har #8 000 # kronor på sitt bankkonto. Beloppet växer med #5 # % varje år. Första året ökar Gustavs pengar med #5 # % av #8 000 # kr #= 400 # kr. Andra året har Gustav #8 400 # kr på kontot, och under året växer pengarna med #5 # % av #8 400 # kr #= 420 # kr. Ökningen är inte konstant. Det innebär att det inte går att använda en linjär modell.
Sedan tidigare vet vi att vi kan beräkna hur pengarna växer på kontot med hjälp av förändringsfaktor:
Efter #1 # år har Gustav #8 000 \cdot 1,05 # kronor
Efter #2 # år har Gustav #8 000 \cdot 1,05 \cdot 1,05 = 8 000 \cdot 1,05^{2} # kronor
Efter #3 # år har Gustav #8 000 \cdot 1,05^{3} # kronor
Följer vi mönstret inser vi att Gustav efter # x # år har #8 000 \cdot 1,05^{ x } # kronor.
En exponentialfunktion beskriver att något förändras procentuellt upprepade gånger.
Mönstret kan vi generalisera till en exponentialfunktion:
# y = C \cdot a ^{ x } #
# C # är startvärdet för funktionen och # a # är förändringsfaktorn. Exponenten utgörs av den oberoende variabeln # x . # I exemplet är # C = 8 000 # kr, # a = 1,05 # och # x # är tiden i år.
Inom naturvetenskapen används exponentialfunktioner bland annat för att beskriva bakterietillväxt och radioaktivt sönderfall.
I figuren är #1 # och #2 # växande exponentialfunktioner, där förändringsfaktorn # a > 1. #
#3 # och #4 # är avtagande exponentialfunktioner, där förändringsfaktorn # a < 1. #

Kontroll

Vilken eller vilka av funktionerna # a ( x ) # till # e ( x ) # här nedanför är a) växande exponentialfunktioner? b) avtagande exponentialfunktioner? c) Hittar du någon funktion som inte är en exponentialfunktion? Vilken typ av funktion är det i så fall? # a ( x ) = 500 \cdot 0,95^{ x } b ( x ) = 200 + 45 x c ( x ) = 900 \cdot 1,23^{ x } # # d ( x ) = 200 \cdot 0,1^{ x } e ( x ) = 430 \cdot x ^{1,1} #