1c 4. Funktioner: 4.2 Funktioner i matematiken
Mer om definitions- och värdemängd
Ofta definieras en funktion av en ekvation eller ett uttryck, utan att någon definitionsmängd skrivs ut. Detta ska tolkas som att definitionsmängden omfattar alla värden på den oberoende variabeln, som är möjliga i uttrycket.
Exempel Vilka är definitionsmängderna och värdemängderna för funktionerna #f_1, f_2,f_3# och #f_4#?
Funktionerna definieras som
a) #f_1(t)=t+3#
b) #f_2(x)=\sqrt{x}#
c) #f_3(x)=\sqrt{x^2}#
d) #f_4(t)=\frac{1}{t-3}#
Lösning
a) Alla värden på #t# är möjliga. Definitionsmängden kan skrivas #-\infty < t < \infty#. Även den beroende variabeln kan anta alla värden. Alltså är värdemängden #-\infty < f_1(t) < \infty#.
b) Kvadratroten är endast definierad för tal noll eller större. Definitionsmängden kan skrivas #0\leq x <\infty#, eller enklare #x\geq 0#. Även värdemängden omfattar alla icke negativa tal: #f_2(x)\geq 0#.
c) #x^2# är alltid noll eller större, oavsett värdet på #x#. Definitionsmängden för #f_3# är här #-\infty < x < \infty#. Kvadratroten ur ett tal är dock aldrig negativ, alltså är värdemängden #f_3(x)\geq 0#.
d) I matematiken är det inte tillåtet att dela på noll. Detta innebär att den oberoende variabeln inte får anta värdet #3#. Alla andra värden är möjliga. Definitionsmängden kan skrivas #t\neq 3#. #f(t)# kan anta hur stora eller små tal som helst, men det finns inget värde på #t# som gör att #f_4(t)# blir precis noll. Värdemängden är #f_4(t)\neq 0#.
Funktionerna definieras som
a) #f_1(t)=t+3#
b) #f_2(x)=\sqrt{x}#
c) #f_3(x)=\sqrt{x^2}#
d) #f_4(t)=\frac{1}{t-3}#
Lösning
a) Alla värden på #t# är möjliga. Definitionsmängden kan skrivas #-\infty < t < \infty#. Även den beroende variabeln kan anta alla värden. Alltså är värdemängden #-\infty < f_1(t) < \infty#.
b) Kvadratroten är endast definierad för tal noll eller större. Definitionsmängden kan skrivas #0\leq x <\infty#, eller enklare #x\geq 0#. Även värdemängden omfattar alla icke negativa tal: #f_2(x)\geq 0#.
c) #x^2# är alltid noll eller större, oavsett värdet på #x#. Definitionsmängden för #f_3# är här #-\infty < x < \infty#. Kvadratroten ur ett tal är dock aldrig negativ, alltså är värdemängden #f_3(x)\geq 0#.
d) I matematiken är det inte tillåtet att dela på noll. Detta innebär att den oberoende variabeln inte får anta värdet #3#. Alla andra värden är möjliga. Definitionsmängden kan skrivas #t\neq 3#. #f(t)# kan anta hur stora eller små tal som helst, men det finns inget värde på #t# som gör att #f_4(t)# blir precis noll. Värdemängden är #f_4(t)\neq 0#.
