1c 2. Likheter och olikheter: 2.1 Ekvationer
Potensekvationer
Ekvationen #x^3=-27# har roten #x=-3#, eftersom #(-3)\cdot(-3)\cdot(-3)=-27#. Inget annat tal på tallinjen löser ekvationen. Därför säger vi att #x=-3# är ekvationens fullständiga lösning. På motsvarande sätt har ekvationen #x^3=27# den fullständiga lösningen #x=3#.
Ekvationen #x^4=16# har en rot #x=2#, eftersom #2\cdot2\cdot2\cdot2=16#. Även #x=-2# är en rot, då det också gäller att #(-2)\cdot(-2)\cdot(-2)\cdot(-2)=16#. Den fullständiga lösningen till ekvationen är: #x=-2# eller #x=2#. Ofta skriver man: #x_1=-2,\, x_2=2#.
Det finns inget tal längs tallinjen som löser ekvationen #x^4=-16#. Ett tal upphöjt till fyra blir alltid noll eller större. Vi säger att ekvationen saknar lösning.
Ekvationen #x^6=0# har endast en rot. #x=0# är den fullständiga lösningen.
Om #a# är ett udda tal, har ekvationen precis en rot.
Om #a# är ett jämnt tal, har ekvationen två rötter om #b>0# och ingen rot om #b<0#.
Om #a> 0# och #b=0#, har ekvationen den enda roten #x=0#.
För att lösa potensekvationer använder vi inverterade tal och rationella exponenter. Vi utnyttjar sambandet att om #x> 0# och #a\neq 0# så är \[ \left(x^a\right)^{\frac{1}{a}}=x^{a\cdot \frac{1}{a}}=x^1=x \] För den slutliga bestämningen måste du dock pröva med hjälp av dina kunskaper om multiplikationstabellen, eller använda digitala hjälpmedel.
Lösning
a) Eftersom exponenten är jämn och högerledet positivt, har ekvationen två rötter. För den positiva roten gäller
#\begin{array}{rcll} \red{(}\color{black}{x^4}\red{)}^{\red{\frac{1}{4}}}&=&81^{\red{\frac{1}{4}}} \quad \small{\text{höj upp båda led till det inverterade talet till exponenten}}\\ x^{4\cdot\frac{1}{4}}&=&81^{\frac{1}{4}} \quad \small{\text{enligt potensregel}}\\ x&=&3 \end{array}#
Den andra roten ges av det motsatta talet till den första, alltså #x=-3.#
Lösningen är: #x_1=-3#, #x_2=3#
b) Exponenten är udda och högerledet är negativt, vilket innebär att roten också måste var negativ. För att få en positiv bas till potensen, löser vi en likvärdig ekvationen för #-x#, som alltså är ett positivt tal:
# \begin{array}{rcll} (-x)^5&=&32& \\ (-x)^{5\cdot\red{\frac{1}{5}}}&=&32^{\red{\frac{1}{5}}} \quad &\small{\text{höj upp båda led och använd potensregel i VL}}\\ -x&=&2 \quad &\small{\text{bestäm värdet}}\\ {\red{-1}}\cdot (-x)&=&{\red{-1}}\cdot 2 \quad &\small{\text{multiplicera båda led}}\\ x&=&-2 \quad &\small{\text{roten även till den ursprungliga ekvationen}} \end{array} #
Lösningen är: #x=-2#
c) Vi skriver om till en potensekvation.
# \begin{array}{rcll} 2x^3-3&=&247& \\ 2x^3-3+{\red{3}}&=&247+{\red{3}} &\small\text{addera båda led}\\ \dfrac{2x^3}{{\red{2}}}&=&\dfrac{247+3}{{\red{2}}} &\small\text{dela båda led}\\ x^3&=&125 &\small\text{förenkla}\\ {\red{(}}x^3{\red{)^\frac{1}{3}}}&=&125^{\red{\frac{1}{3}}} &\small\text{höj upp båda led till inverterat tal}\\ x&=&5& \end{array} #
Lösningen är: #x=5#
