1c 2. Likheter och olikheter: 2.4 Olikheter
Enkla olikheter II
En olikhet som #x+3>7# kan lösas. Lösningen är #x>4#. De värden på #x# som uppfyller olikheten är alla värden som tillhör intervallet #]4 , \infty[#.
Kontroll 1. a) Vad är lösningen till ekvationen #x-2=5#
b) Hur många värden på #x# finns det som löser ekvationen?
2. a) Vad är lösningen till olikheten #x-2>5#?
b) Hur många värden på #x# finns det som löser ekvationen?
b) Hur många värden på #x# finns det som löser ekvationen?
2. a) Vad är lösningen till olikheten #x-2>5#?
b) Hur många värden på #x# finns det som löser ekvationen?
Exempel 2 Lös olikheten #y-4\leq 7#.
#\begin{array}{rcll} y-4&\leq&7&\small{\textrm{ställ upp olikheten}}\\\\ y-4+\color{red}{4}&\leq&7+\color{red}{4}&\small{\textrm{addera }4~\textrm{till båda led}}\\\\ y&\leq&11&\small{\textrm{förenkla}} \end{array}#
#\begin{array}{rcll} y-4&\leq&7&\small{\textrm{ställ upp olikheten}}\\\\ y-4+\color{red}{4}&\leq&7+\color{red}{4}&\small{\textrm{addera }4~\textrm{till båda led}}\\\\ y&\leq&11&\small{\textrm{förenkla}} \end{array}#
Exempel 3 Lös olikheten #-6<9+5z#.
#\begin{array}{rcll} -6&<&9+5z&\small{\textrm{ställ upp olikheten}}\\\\ -6-\color{red}{9}&<&9+5z-\color{red}{9}&\small{\textrm{subtrahera }9~\textrm{från båda led}}\\\\ -15&<&5z&\small{\textrm{förenkla}}\\\\ \displaystyle{\frac{-15}{\color{red}{5}}}&<&\displaystyle{\frac{5z}{\color{red}{5}}}&\small{\textrm{dividera båda sidor med }5}\\\\ -3&<&z&\small{\textrm{förenkla}}\\\\ z&>&-3&\small{\textrm{vänd hela olikheten, inklusive tecken}} \end{array}#
Det är vanligast att ge lösningen med den obekanta i vänsterledet.
#\begin{array}{rcll} -6&<&9+5z&\small{\textrm{ställ upp olikheten}}\\\\ -6-\color{red}{9}&<&9+5z-\color{red}{9}&\small{\textrm{subtrahera }9~\textrm{från båda led}}\\\\ -15&<&5z&\small{\textrm{förenkla}}\\\\ \displaystyle{\frac{-15}{\color{red}{5}}}&<&\displaystyle{\frac{5z}{\color{red}{5}}}&\small{\textrm{dividera båda sidor med }5}\\\\ -3&<&z&\small{\textrm{förenkla}}\\\\ z&>&-3&\small{\textrm{vänd hela olikheten, inklusive tecken}} \end{array}#
Det är vanligast att ge lösningen med den obekanta i vänsterledet.
Exempel 4 Lös olikheten #2x>3x+1#
Variant 1
#\begin{array}{rcll} 2x&>&3x+1&\small{\textrm{ställ upp olikheten}}\\\\ 2x-\color{red}{3x}&>&3x+1-\color{red}{3x}&\small{\textrm{subtrahera }3x~\textrm{från båda led}}\\\\ -x&>&1&\small{\textrm{förenkla}}\\\\ x&\color{red}{<}&-1&\small{\textrm{multiplicera båda sidor med}~(-1)~\textrm{och \emph{vänd olikhetstecknet}}} \end{array}#
Variant 2
#\begin{array}{rcll} 2x&>&3x+1&\small{\textrm{ställ upp olikheten}}\\\\ 2x-\color{red}{2x}&>&3x+1-\color{red}{2x}&\small{\textrm{subtrahera }2x~\textrm{från båda led}}\\\\ 0&>&x+1&\small{\textrm{förenkla}}\\\\ 0-\color{red}{1}&>&x+1-\color{red}{1}&\small{\textrm{subtrahera }1~\textrm{från båda led}}\\\\ -1&>&x&\small{\textrm{förenkla}}\\\\ x&<&-1&\small{\textrm{vänd hela olikheten, inklusive tecken}}\\ \end{array}#
Variant 1
#\begin{array}{rcll} 2x&>&3x+1&\small{\textrm{ställ upp olikheten}}\\\\ 2x-\color{red}{3x}&>&3x+1-\color{red}{3x}&\small{\textrm{subtrahera }3x~\textrm{från båda led}}\\\\ -x&>&1&\small{\textrm{förenkla}}\\\\ x&\color{red}{<}&-1&\small{\textrm{multiplicera båda sidor med}~(-1)~\textrm{och \emph{vänd olikhetstecknet}}} \end{array}#
Variant 2
#\begin{array}{rcll} 2x&>&3x+1&\small{\textrm{ställ upp olikheten}}\\\\ 2x-\color{red}{2x}&>&3x+1-\color{red}{2x}&\small{\textrm{subtrahera }2x~\textrm{från båda led}}\\\\ 0&>&x+1&\small{\textrm{förenkla}}\\\\ 0-\color{red}{1}&>&x+1-\color{red}{1}&\small{\textrm{subtrahera }1~\textrm{från båda led}}\\\\ -1&>&x&\small{\textrm{förenkla}}\\\\ x&<&-1&\small{\textrm{vänd hela olikheten, inklusive tecken}}\\ \end{array}#
Utan att vända olikhetstecknet i en olikhet kan man
Man måste vända olikhetstecknet om man
- addera till båda sidor.
- subtrahera från båda sidor
- multiplicera båda sidor med ett positivt tal.
- dividera båda sidor med ett positivt tal.
Man måste vända olikhetstecknet om man
- multiplicerar båda sidor med ett negativt tal.
- dividerar båda sidor med ett negativt tal.
