Formler

1c 2. Likheter och olikheter: 2.5 Formler och mönster

Formler

Oskar ska köpa ett akvarium med fiskar och beräknar kostnaden. Han räknar med att akvariet kostar #1500 # kr och fiskarna han vill köpa kostar #80 # kronor styck. Oskar ställer upp en tabell:

Antal fiskar	Kostnad för akvariet inklusive fiskar i kr
#1#	#1\,500 + 80 \cdot 1 = 1\,580#
#2#	#1\,500 + 80 \cdot 2 = 1\,660#
#5#	#1\,500 + 80 \cdot 5 = 1\,900#
#10#	#1\,500 + 80 \cdot 10 = 2\,300#
#\ldots#
# x #	#1\,500 + 80 \cdot x #

Oskar upptäcker snabbt att alla beräkningar följer samma mönster. Kostnaderna för hans akvarium kan beskrivas med en formel:

# K = 1\,500 + 80 x #

# K # står för den totala kostnaden för hela akvariet inklusive fiskar. # x # står för antalet fiskar han väljer att köpa. I formeln är #1\,500 # den fasta kostnaden, en kostnad som inte går att påverka.

Den rörliga kostnaden är #80 # kr per fisk, och om han köper # x # stycken får han betala #80 x # kr för fiskarna.

Kontroll

En kostnad beräknas med formeln # K = 800 + 90 x #. Hur stor är den fasta kostnaden, och hur stor är den rörliga kostnaden?

Svar

Den fasta kostnaden är #800# kronor, och den rörliga kostnaden är #90# kronor för varje #x#.

I exemplet ovan beror kostnaden av hur många fiskar Oskar väljer att köpa. Vi kallar kostnaden # K # för den beroende variabeln. Oskar kan välja antalet fiskar fritt, och variabeln # x # kallar vi för den oberoende variabeln. Vi kan förstå benämningarna genom ett resonemang: Är det kostnaden som beror av antalet fiskar, eller är det antalet fiskar som beror av kostnaden?

Formler

En formel beskriver ett samband mellan två eller flera variabler.

En formel innehåller en beroende variabel och en eller flera oberoende variabler.

Den beroende variabelns värde beror av värdet på den oberoende variabeln/de oberoende variablerna.

Vi kan beräkna ett värde på vilken som helst av de ingående variablerna i en formel genom att lösa ut den variabel vi är intresserade av.

Låt oss anta att Oskar har sparat ihop #2\,700 # kr. Hur många fiskar kan han köpa till akvariet?

Den totala kostnaden # K = 2\,700 # kr. Formeln # K = 1\,500 + 80 \cdot x # ger då

#2\,700 = 1\,500 + 80 \cdot x #

#1\,200 = 80 \cdot x #

#x = \frac{{1\,200}}{{80}} = 15#

Oskar kan alltså köpa #15 # fiskar till akvariet om han har #2\,700 # kr.

Nästa exempel

I fysiken beskriver formeln #s = \frac{{g{t^2}}}{2}# hur lång sträcka # s # meter ett föremål faller på # t # sekunder när det faller från till exempel ett bord eller ett hustak. # g # är gravitationsaccelerationen, ett värde som anger hur stor fartökningen är per sekund. Värdet på # g # är cirka #9,82 # m/s#^{2} # i Sverige, och är konstant.

Hur lång tid tar det för föremålet att falla #200 # meter?

Den variabel vi söker finns i högerledet, så vi ordnar om formeln så att # t # står ensamt i vänsterledet.

#\color{orangered}{2} \cdot s = \frac{{g{t^2}}}{2} \cdot \color{orangered}{2}#	Vi börjar med att multiplicera båda sidor med #2 # och förkorta.
#2 s = gt ^{2} #
#\frac{{2s}}{\color{orangered}{g}} = \frac{{g{t^2}}}{\color{orangered}{g}}#	Vi dividerar därefter med # g # och förkortar.
#\frac{{2s}}{g} = {t^2}#
#{t^2} = \frac{{2s}}{g}#	Vi byter plats på vänster #- # och högerled.

Det sista som återstår är att ta kvadratroten ur vänster- och högerleden.

#\,t = \pm \sqrt {\frac{{2s}}{g}} #

Vi använder bara den positiva lösningen här.

Vi har kommit fram till en formel som relaterar tiden # t # till hur lång sträcka # s # föremålet har fallit.

Nu kan vi låta # s = 200 # m och # g = 9,82 # m/s#^{2}# :

#\,t = \sqrt {\frac{{2s}}{g}} = \sqrt {\frac{{2 \cdot 200}}{{9,82}}} \,{\rm{s}} \approx 6,4\,{\rm{s}}#

Fallet tar cirka #6,4 # sekunder!

Nästa exempel