1c 2. Likheter och olikheter: 2.5 Formler och mönster
Aritmetiska talföljder
En viktig del av matematiken handlar om att kunna beskriva mönster. Med ett mönster menar vi en följd av tal eller symboler där det är möjligt att använda matematiskt tänkande för att förutsäga hur mönstret utvecklar sig eller upprepas.
Vilket tal ska komma efter följande tal: #1 \,3 \,5 \,7 \,9 \ldots# ?
Vi kan till exempel se att alla tal är udda, och att skillnaden mellan talen hela tiden är #2. # Därför kan vi dra slutsatsen att nästa tal måste vara #11, # och talet därefter är #13, # och så vidare.
Talföljden #1 \,3 \,5 \,7 \,9 \ldots, # är ett exempel på en aritmetisk talföljd. I en aritmetisk talföljd är differensen mellan två på varandra följande tal konstant.
Om vi numrerar talen från #1 # och uppåt kan vi benämna varje enskilt tal i talföljden med beteckningen # a _{ n } # där # n # är talnumret. Till exempel är # a _{3} = 5#, eftersom det tredje talet har värdet #5#.
Kontroll
Bestäm # a _{7} # i den aritmetiska talföljden #3, \,9, \,15, \,21, \,27, \,\ldots#
I talföljden #1\, 3\, 5\, 7\, 9 \ldots # kan vi se att differensen mellan två på varandra följande tal är #2 # hela tiden, alltså en aritmetisk talföljd.
Vi kan göra följande uppställning där vi numrerar talen i talföljden från #1 # och uppåt:
Talnummer: #\quad 1\quad 2\quad 3\quad 4\quad 5\ldots\quad n #
Tal: #\quad \quad \quad \quad 1\quad 3\quad 5\quad 7\quad 9\ldots \quad a _{ n } #
Nu ska vi hitta en formel för # a _{ n } # som beskriver tal nummer #n#, eller det #n#:te talet. Vi söker efter ett samband mellan ett tal i talföljden och motsvarande talnummer.
Vi observerar att varje tal är dubbelt så stort som talnumret, så när som på #1. #
Det innebär att vårt # n #:te tal # a _{ n } = 2 n - 1. # Vi kontrollerar om formeln stämmer.
För tal nummer #3 # får vi # a _{3} = 2 \cdot 3 - 1 = 5 # och för tal nummer #5 # får vi # a _{5} = 2 \cdot 5 - 1 = 9. #
Vi ser att det är en aritmetisk talföljd eftersom differensen hela tiden är #4. # Det första talet är #3, # och om vi tänker oss ett "nollte" tal, # a _{0}, # skulle detta ha värdet #3 - 4 = -1. #
Det nollte talet ingår inte i talföljden, men är en hjälp för oss att hitta formeln.
Det # n #:te talet är alltså # a _{ n } = 4 n - 1 #
En kontroll:
Tal nummer #4 # ska vara #15 # enligt talföljden:
# a _{4} = 4 \cdot 4 - 1 = 16 - 1 = 15. #
|
# a _{ n } = d \cdot n + a _{0} # # n # är talnumret och # a _{0} # är talföljdens starttal eller det "nollte" talet. Differensen # d # mellan två på varandra följande tal är konstant.
|
