1c 2. Likheter och olikheter: 2.5 Formler och mönster
Geometriska talföljder
En geometrisk talföljd kännetecknas av att kvoten mellan ett tal och föregående tal är konstant. Om vi kallar kvoten för # k , # och talföljdens nollte tal för # a _{0}, # kommer talseriens # n #:te tal att vara # a _{ n } = a _{0} \cdot k ^{ n }. #
Talföljden #2, 4, 8, 16, 32, \ldots # är en geometrisk talföljd. Kvoten mellan ett tal och föregående tal är hela tiden #2. #
Talföljdens nollte tal får vi genom att dividera talföljdens första tal med kvoten #2#:
#{a_0} = \frac{2}{2} = 1#
För att få nästa tal i talföljden multiplicerar vi det sista kända talet med #2#:
#1 \cdot 2 \quad 1 \cdot 2 \cdot 2 \quad 1 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \quad 1 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \quad \ldots #
Det betyder att en formel för det # n #:te talet innebär upprepad multiplikation med kvoten #2. # Det kan vi beskriva med hjälp av en potens:
# a _{ n } = 1 \cdot 2^{ n } = 2^{ n } #
Tal nummer #6 # kommer att ha värdet #2^{6} = 64. #
Enligt en skröna lär uppfinnaren av schackbrädet ha sålt ett schackspel till en förmögen man mot följande betalning: #1 # riskorn för den första rutan på schackbrädet, #2 # riskorn för den andra rutan, #4 # riskorn för den tredje rutan, #8 # riskorn för den fjärde rutan och så vidare.
Antalet riskorn på ruta # n # på schackbrädet följer en geometrisk talföljd: #1, 2, 4, 8, 16, 32, \ldots #
Kvoten # k # är #2#, vilket gör att talföljdens nollte tal är #{a_0} = \frac{1}{2}#.
Talföljden kan alltså beskrivas med formeln
#{a_n} = {a_0} \cdot {k^n} = \frac{1}{2} \cdot {2^n} = \frac{{{2^n}}}{{{2^1}}} = {2^{n - 1}}#
Hur många riskorn finns det på sista rutan?
Ett schackspel har #64 # rutor, så på den sista rutan kommer det att finnas #2^{63} # riskorn. Ett ungefärligt värde är #9,2 \cdot 10^{18} # stycken.
Om varje riskorn väger #25 # milligram #= 0,025 # g så kommer alla riskorn på den #64# :e rutan att väga cirka #2,3 \cdot 10^{11} # ton! Jämför detta med den samlade världsproduktionen av ris år #2014, # som var ca #7,4 \cdot 10^{8} # ton.
|
# a _{ n } = a _{0} \cdot k ^{ n } \quad \quad a _{0} # är talföljdens nollte tal. Kvoten # k # mellan två på varandra följande tal är konstant. |
