Diskutera, resonera och modellera

1c 2. Likheter och olikheter: 2.5 Formler och mönster

Diskutera, resonera och modellera

Rekursiva talföljder

Hittills har vi beskrivit talföljder med hjälp av en sluten formel. En sluten formel ger direkt värdet på tal nummer # n # utan att vi behöver veta hur talserien ser ut fram till det # n #:te talet.

Ett annat sätt att beskriva talföljder är att använda en rekursiv formel. Ordet rekursiv kan i det här sammanhanget översättas med "tillbakasyftande". Det betyder att vi hittar en formel för ett tal i talföljden utifrån det eller de föregående talen. När man vill skapa talföljder med hjälp av en dator är en rekursiv metod effektivare än en sluten formel eftersom den oftast innehåller färre beräkningar.

I den aritmetiska talföljden #1, \,3, \,5, \,7, \,9, \,11, \ldots # ser vi att differensen mellan talen är #2 # hela tiden. För att bestämma tal nummer # n # räcker det med att vi vet tal nummer # n - 1. #

Talföljden kan beskrivas med den slutna formeln # a _{ n } = 2 n - 1 # eller med den rekursiva formeln # a _{ n } = a _{ n -1} + 2. #

Eftersom den rekursiva talföljden använder sig av föregående tal, tal nummer # n - 1, # måste vi bestämma första talet i talföljden. Vår talföljd börjar med #1, # så vi berättar också att # a _{1} = 1. #

För att beskriva talföljden på ett rekursivt sätt behöver vi alltså både definiera själva formeln för det # n #:te talet och talföljdens första tal:

#\left\{ \begin{array}{l}{a_n} = {a_{n - 1}} + 2\\{a_1} = 1\end{array} \right.#

# n = 2, 3, ... #

Beskriv talföljden #3, \,6, \,9, \,12, \,15, \ldots # med hjälp av en rekursiv formel.
Undersök hur en generell aritmetisk talföljd med starttalet # b # och differensen # d # ser ut med en rekursiv formel.
Hur ser den geometriska talföljden #1, \,2, \,4, \,8, \,16, \,32, \,\ldots # ut med en rekursiv formel?
Hur ser talföljden #1, \,3, \,6, \,10, \,15, \,21, \,28, \,\ldots # ut med en rekursiv formel?
En berömd talföljd som lättast beskrivs med en rekursiv formel är Fibonaccis talföljd: #1, \,1, \,2, \,3, \,5, \,8, \,13, \,21, \,34, \ldots. # Hur ser den rekursiva formeln ut? Hur många starttal behövs för talföljden?
I en talföljd är det andra talet #4 # och det fjärde talet #16. # Ge förslag på hur talföljden ser ut, både med en sluten formel och med en rekursiv formel.
Undersök med hjälp av internet hur Fibonaccis talföljd återfinns i naturen, till exempel i en snäckas spiral eller i blombladen hos en solros.

#\,#

Svar

Talföljden @3, 6, 9, 12, 15, ...@ är @a_n = a_{n-1} + 3@ där #a_1 = 3#. @n = 2, 3, 4, ...@
Om #a_1 = b# och differensen är #d# är talföljden #a_n = a_{n-1} + d#, #a_1 = b#. @n = 2, 3, 4, ...@
I talföljden @1, 2, 4, 8, ...@ är varje tal dubbelt så stort som det föregående talet. Alltså är #a_n = 2 · a_{n–1}#, #a_1 = 1#. @n = 2, 3, 4, ...@
Talföljden @1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, ...@ är @a_n = a_{n–1} + n@. Till det föregående talet läggs det aktuella talets nummer i följden. @a_1 = 1@, @n = 2, 3, 4, ...@
I Fibonaccis följd är ett tal summan av de två föregående talen, från och med det tredje talet. Det behövs alltså två starttal, och talföljden kan beskrivas med @a_n = a_{n–1} + a_{n–2}@ och @a_1 = 1@ samt @a_2 = 1@. Talnumret #n ≥ 3#.
Om det andra talet i en talserie är #4# och det fjärde talet är #16#, kan talföljden till exempel vara aritmetisk med differensen #6#: @a_n = a_{n–1} + 6@, @a_1 = –2@. @n = 2, 3, 4, ...@ Talföljden kan också vara geometrisk: @a_n = 2 · a_{n–1}@, @a_1 = 2@, @n = 2, 3, 4, ...@

#\,#